Le produit en croix

PropriétéÉgalité des produits en croix

\(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) désignent quatre nombres relatifs (avec \(b\not=0\) et \(d\not=0\)).

  • Si \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), alors \(a\times d=b\times c\).

  • Inversement si \(a\times d=b\times c\), alors \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\).

Remarque

Cette propriété est très utile en cas d'égalité de quotients ou pour les comparer. Elle permet également de gérer des situations de proportionnalité.

Exemples :

  • Les fractions \(\dfrac{34}{51}\) et \(\dfrac{2}{3}\) sont-elles égales ?

    Oui, car \(34\times3=102\) et \(2\times51=102\) c'est à dire que \(34\times3=2\times51\).

  • Compléter l'égalité \(\dfrac{23}{15}=\dfrac{207}{\textcolor{red}{ ?}}\) revient à compléter \(23\times \textcolor{red}{?} = 207 \times 15 = 3\,105\)

    Or le nombre recherché qui vérifie \(23\times \textcolor{red}{?} = 3\,105\) est, par définition, le quotient \(\dfrac{3\,105}{23}=135\).

    Ainsi \(\dfrac{23}{15}=\dfrac{207}{\textcolor{red}{135}}\)

Démonstration

  • Supposons que \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) or \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times\textcolor{blue}{d}}{b\times\textcolor{blue}{d}}\) et \(\dfrac{c}{d}=\dfrac{\textcolor{red}{b}\times c}{\textcolor{red}{b}\times d}\)

donc \(\dfrac{a\times d}{b\times d}=\dfrac{b\times c}{b\times d}\) ainsi \(a\times d=c\times b\) car les dénominateurs sont égaux.

  • Inversement supposons que \(a\times d=b\times c\) alors en divisant chaque membre par le produit \( b\times d \) on obtient l'égalité :

\(\dfrac{a\times d}{b\times d}=\dfrac{b\times c}{b\times d}\) ce qui donne \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) en simplifiant chacun des quotients.