Diviseurs communs
Définition :
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux.
Exemple :
\(12=1\times 12=2\times 6=3\times 4\) Les diviseurs de \(12\) sont \(1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(4\) ; \(6\) et \(12\).
\(18=1\times 18=2\times 9=3\times 6\) Les diviseurs de \(18\) sont \(1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(6\) ; \(9\) et \(18\).
Donc les diviseurs communs à \(12\) et à \(18\) sont \(1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(6\).
Définition :
Le Plus Grand Diviseur Commun de deux nombres entiers \(a\) et \(b\) s'appelle le PGCD de ces nombres. On le note \(PGCD(a;b)\)
Exemple :
Le PGCD de \(12\) et \(18\) est \(6\). \(PGCD(12 ;18)=6\).
Remarque :
Les diviseurs communs de deux nombres sont tous les diviseurs du PGCD de ces deux nombres.
Méthode :
Voir section "Déterminer le PGCD de deux nombres"
Définition :
Deux nombres entiers dont le PGCD est égal à \(1\) sont appelés des nombres premiers entre eux.
Exemples :
Le PGCD de \(15\) et \(22\) est \(1\), donc \(15\) et \(22\) sont premiers entre eux.
\(48\) et \(90\) ne sont pas premiers entre eux. En effet, ils sont des multiples de deux, leur PGCD vaut au moins \(2\).
Remarque :
Deux nombres premiers entre eux n'ont qu'un seul diviseur commun : 1.